台球运动中的力学问题

[爱玩男儿]

台球运动中的力学问题---TOP147网友爱球人关于台球力学的认识

　　台球运动在国外已有200多年的历史，清代末期传到中国，到现在这种运动已经在我国城乡广为普及。我本人就是一个台球迷，自从六岁接触台球以来，对他的兴趣始终是有增无减。随着年龄，技术的增长，逐渐发现在台球运动中涉及到很多物理方面的知识。下面就把我个人的一点心得写下来作为一个物理小论文。

　　对于两个球的碰撞问题，在这里我只定量讨论理想状态下的两球碰撞问题。平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度为v.当它们两个做非弹性碰撞时，碰撞后两球速度总互相垂直母球的质量 = 子球的质量，将两球视为刚体。忽略如下图所示：



设碰撞后两球的速度为v1,v2.　　　质心运动速度不变
有动量守恒mv=mv1+mv2　　　　　　v=v1+v2
两边平方
由机械能守恒（势能无变化）
　　　　　　　　　　　　　　　　质心运动速度不变

　　　　　　v 1=0或 v2=0eà"v1=0 对心碰撞
v1*v2=0 {
　　　　　　v1┷v2　　　　　　　非对心碰撞两球速度总互相垂直。

对于完全弹性碰撞则很容易判断两球的运动轨迹，0度或者180度。

　　球速的传送公式，是指母球在撞击子球时，两球接触的瞬间，母球的动量会一分为二，一部分将分配给变慢的母球，另一部分会传送给子球。我们可以观察到的：两球速度的改变，此速度与滚动的距离成正比。球速传送公式是推导出来的。我认为，球的力量传递必定存在着公式的关系，若此公式为一简单的数学关系，对于出杆力道控制的知识推断，必定会有很大的帮助。以下所推导的公式为平面碰撞，只单纯计算母球的动量传递。不考虑声波消耗的能量、球台布摩擦力消耗的能量与球旋转的转矩等....。移动中的母球撞击静止的子球（动量为零），撞击前母球的动量P，在撞击子球后，会将一部分动量传给子球P2，而母球保有部分动量P1。按照力与向量的计算，合力 = 两分力，P = P1 + P2，且两分力垂直。按照动量的公式 P = mv条件：母球的质量 = 子球的质量，将两球视为刚体。公式如下：（求V1、V2）



得
V1 = V * Sinθ
V2 = V * Cosθ

以上公式难以阅读，我用文字说明。

　　公式一：母球末速等于母球初速乘以Sinθ公式二：子球速度等于母球初速乘以Cosθ说明： 只要将Sinθ及Cosθ制成表，即可用查表法，算出母球子球的速度分配，此速度分配随θ（夹角）改变。换言之，我们可以控制撞击的角度，使母球和子球在撞击后，得到预期的速度分配，进而控制母球和子球的滚动距离。另外，亦可将切球公式（切球公式：指击球厚薄与角度的关系。董增华，民国91.9。）与本公式结合，导出击球厚薄与速度分配的关系。

　　切球的公式。瞄球是一个很复杂的动作，有的人用单眼瞄球，大部分的人用双眼瞄球。瞄准的方法也有很多种，有人瞄切点，有人瞄假想母球，有人打久了凭感觉，也有人瞄球是用切的，看是切整颗球（直径）的几分之几。这一篇是我导出的角度与几分之几的切球公式。曾经在网络上看到许多人讨论，切半颗球的夹角是几度？结果众说纷纭。当母球撞击到子球时，母球与子球的接触点很小，我们称它为「切点」。子球前进的方向，在不考虑抛（throw）力的情况下，子球被撞击后的前进方向为「母球中心点－切点－子球中心点→」的方向，在打落袋式撞球时，此方向就是子球进袋的方向，这就是一般将球打进的原理。母球子球接触的瞬间如下图所示，切球的厚薄为X，球的半径为r，瞄准方向（母球未接触子球前的行进方向）与子球行进方向的夹角为θ。由计算与三角函数得之，X = 2r（1-Sinθ）。图解计算见下图。



　　由此导出的公式发现，「切球的宽度」与「瞄准方向与子球行径方向的夹角」有固定数学式的关系，表一将三角函数表的Sinθ列出，第二列列出1-Sinθ。将等式X = 2r（1-Sinθ）改一下，



　　因为2r是直径，1-Sinθ就等于「切球的宽度」除以球直径，也就是切球的比例。以上数学式看不懂没关系，结果说明如后，我们可以从表一中1-Sinθ的字段看出，打直球时（０°）切球的宽度为整颗球，接近90°的球，切球的宽度接近最小，打30°的球时，切球的宽度为0.5000刚好是切半颗球。由此表可以得到角度与切球比例的关系。



　　注意切1整颗球到切0.9颗球的范围，大约在0°~6°之间；切0.1颗球到切0颗球（最薄的球）的范围，大约在64°~90°之间。可见切愈薄的球，差一点就差很多了，也就是愈薄的球愈难打，如果是要打下左右塞的球，又超过60°，因为下左右塞球要修正，将很难打进。所以我们应该尽量将作球的角度控制在60°以内。

　　球台上的力学分析。如果有机会得到电玩超拟真撞球的公式（指内部程序），我想我不会写这个，公布他的就好了。如果超拟真的程序员有看到这篇文章，有良心的话，就把你的大作公布给大众吧！或者有人知道真相？走火入魔的时后，会有一些机车的想法，最麻烦的是自己想不通的问题。这个问题就是走火入魔的时后，才会去想的。先入主题吧！我把球桌面的问题，土法炼钢的用我所知道的物理观念公式化，就好像打 RPG-GAME 时，为什么打史莱姆一*，失血 15 Points ，因为 Game 中有公式（快把超拟真撞球的公式交出来吧！）。




球台上的力学分析：

1. 手与球杆的关系　
　a. 主要为小臂与手腕施力于球杆。　
　b. 肘为支点。　
　c. 力矩T = 力F（球杆的重量）* 力臂r（肘至球杆的垂直距离）　　
　　 T = F * r

2. 球杆与球的关系　
　a. 前截对母球的偏斜。（下左塞、同一打点、施以不同力道的偏斜与转向图）
　b. 母球冲击的反作用力使前截发生形变（反作用力的自动修正）。　
　c. 球杆给球的直线冲量。
　　 球杆、母球分离时的直线冲量 P　　
　　 球杆、母球分离时的母球球速 V　　
　　 母球的质量 m　　
　　 公式：P = m * V　
　d. 球杆给球的转动角冲量。　　
　（塞球的理想撞击点是存在的。杆头并非固定不动。）　　
　　T *（t）= ΔL = 球杆拨动母球的时间 t * 球杆送给母球的转矩 T　
　e. 皮头的摩擦系数 tμ。　　摩擦力 tμ 与角冲量 T(t) 成正比。　　
　　T = F * tμ， T(t) = F * t * tμ（ F：施力）　　
　　L = I * ω（角动量 = 转动惯量 * 角速度）　　
　　T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * tμ（ 角冲量 = 角动量变化量）

3. 球与台面的关系　

　a. 重力（g）。　　球的质量（m）* 重力加速度（g）
　b. 摩擦力。摩擦力所作的功与摩擦系数成正比。　　摩擦力所作的功 = 摩擦力 * 移动的距离 （通常是在自然向前滚动的情况下成立）　　c. 球向台面的垂直加速度 = 反作用力 （跳球时，跳跃高度 H = 1/2 g * t * t ）（ t 为飞行时间 ）　
　　 出杆速度愈快、力量愈大、垂直角度愈高，跳球跳愈高。

4. 球与球的关系
　a. 平面弹性碰撞。　　
　　 母球原行进方向A　　
　　 母球、子球撞击瞬间之母球球心位置O　　
　　 子球受撞击后之走向B　　
　　 母球碰撞子球后之走向C　　
　　 母球撞击子球前之力F　　
　　 子球接收母球之力OF　　
　　 母球撞击子球后剩余之力CF　　
　　 ∠AOB = θ　　
　　 公式：OF = F * cosθ　　　　　
　　CF = F * sinθ　　（当夹角θ为0度时《直球》，母球的力完全传递给子球；当夹角θ为90度时，母球等于没碰到子球。）
　b. 球与球之间的 throw （抛）。　　
　　 红色的↗c 为目标球接收到的 throw 。　　
　　此 throw 受 oμ 的影响，愈脏的球 oμ 愈大。　
　c. 转矩的传递（子球塞球）。　　
　　母球角动量L　　
　　母球与子球接触时间 t
　　母球与子球的摩擦系数 oμ
　　子球受到的角冲量（转矩）T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * oμ
　　∵ t 太小了，球速相对又太快。
　　∴ 子球的旋转肉眼看不出来。
　　球速愈快、转速愈快、撞击夹角愈小，传递的转矩愈大，阈值受限于 t * oμ。
　　子球接收的角冲量在碰触颗星时会有明显的影响。

5. 球与颗星的关系
　a. 入射角A = 反射角B。

　b. 颗星的摩擦力。
　　球与颗星的摩擦系数 cμ
　　旋转的转矩 T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * cμ（球入颗星的角度愈接近垂直，摩擦力愈大）
　c. 陷入颗星时的弹力位能。（虎克定律）
　　弹力位能F
　　常数K（颗星的弹性）
　　陷入颗星的深度X
　　F = KX
　d. 球陷入颗星条（Cushion）内力量的损耗。

6. 球与空气的关系
　a. 麦克纳斯力（Magnus force）对水平前进旋转球的侧偏斜。（流体力学对左塞或右塞的影响，可能微乎其微。）




后语：一个球的行为几乎会动用到好几种力学，只是影响力大小不同，有时几乎可以忽略，有时却很重要。我们平常看到的是这些力彼此交互作用的结果。写完觉得还不够，希望下次有力时可以补充。特别感谢看完的人。如有误，欢迎指正。